וול סטריט

ניתוח משבר משבר פיננסי באמצעות פונקציית צפיפות האנטרופיה

חלק ב' – מה היא פונקציה ומדוע נבחרה הפונקציה הלוגריתמית

משבר כלכלי בד"כ יתבטא בירידות חדות של המדדים המובילים. סוחרים ומשקיעים נוהגים לרוב לנתח את המשבר הפיננסי ע"י מדדים ותעודות סל המחקות מדדים בעזרת ניתוח טכני או/ו ניתוח פונדמנטלי. כלכלנים ינתחו את המשבר ע"י מודלים כלכליים הייחודיים למשבר המלווים במשוואות אקונומטריות (מדידה כמותית המשתמשת בכלים סטטיסטיים לבחינת יחסים בין משתנים כלכליים) מותאמות. האם תהיתם לעצמכם האם ישנם בעלי מקצוע נוספים אשר מנתחים משברים כלכליים. תתפלאו לשמוע שישנם פיזיקאים אשר מיישמים משוואות פיזיקאיות על מנת לנתח משברים פיננסיים.

בכתבה הראשונה הובהרו המושגים הבאים: אקונופיזקה, אנטרופיה, פונקציית צפיפות ושלושה מדדים רלוונטיים

 

https://tradestreet.co.il/?p=25572

 

הכתבה הבאה תסביר מה היא פונקציה, ולאחר מכן יוסברו סוגי פונקציות כגון: פונקציה ליניארית, פונקציה לוגריתמית פונקציה הפיכה ופונקציה מערכית וזאת על מנת להסביר מדוע החוקרים בחרו דווקא בפונקציה הלוגריתמית לניתוח המשבר הפיננסי. החלק הבא מציג כיצד פיזיקאים מנתחים את משבר הסאב-פריים בעזרת פונקציית צפיפות האנטרופיה.

 

פונקציה

 

במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המתמטיקה, וגם מחוץ לה. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים  (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה. האיור הראשון ממחיש כיצד משייכים פונקציה והאיור לאחריו מציג את ההתהליך.

 

function3

function2

 

פונקציה ליניארית

 

על מנת להסביר את המושג פונקציה לינארית באופן פשוט ללא שימוש בכלים מתמטיים פשוטים או מורכבים נעזר בגרף המוצג מטה ובדוגמא. ניתן לראות בגרף שהשיפוע הוא קבוע, כלומר הפונקציה זזה במקטעים שווים לכל אורכה ונמחיש בדוגמא נניח ושציר ה-y מייצג הוצאה כספים באלש"ח (אלפי שקלים) וציר ה-x מייצג הכנס כספית באלש"ח, כאשר לאדם אין הכנסה הוא יוציא 2 אלש"ח על מנת להתקיים וכאשר האדם בחובות הוא יחייה בצמצום גדול יותר (כמובן שהדוגמא לא רלוונטית מהאזור של ה-3- בציר ה-y) כאשר האדם יתחיל להתפרנס הוא יוציא על כל 1 אלש"ח 0.5 אלש"ח, לדוגמא אדם המכניס 5 אלש"ח הוצאתו תהיה 4.5 אלש"ח.

 

Linear_Function

 

פונקציה מעריכית

 

הפונקציה המעריכית נקראת כך משום שהמשתנה x נמצא במעריך החזקה המגדירה את הפונקציה

אחת הדרכים להמחיש את הגידול המעריכי היא באמצעות קיפולי נייר.

ניקח דף רגיל ונקפל אותו לשניים לרוחבו – עכשיו שטח הפנים של הדף הוא מחצית מהשטח המקורי, כיפול נוסף לשניים יציג דף המהווה רבע משטח הפנים וכיפול נוסף כבר יהיה קטן פי 8 מהמקור. ככל שנתקדם בקיפולים כך.

 

paper
paper

 

log2

 

 

 

פונקציה הפיכה

 

במתמטיקה, פונקציה הפיכה היא פונקציה, אשר קיימת פונקציה נוספת שפעולתה הפוכה לזו של הראשונה, כך שכאשר שתי הפונקציות מופעלות בזו אחר זו על ערך כלשהו, מוחזר הערך שעליו הן הופעלו. בלשון מעט יותר פורמלית: הרכבתן של הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות.

בקבוצה עליה לא מוגדר כל מבנה מתמטי נוסף, על מנת שניתן יהיה להפוך את פעולתה של פונקציה על ידי פונקציה אחרת, צריכים להתקיים שני תנאים: ראשית, הפונקציה שמבקשים להפוך צריכה להיות חד-חד-ערכית. זאת כי אם שני ערכים שונים מועתקים לערך יחיד, לא ברור לאן הפונקציה ההפוכה תעתיק ערך זה, וכל ניסיון לבחור ערך שרירותי יוביל לכך שהרכבת הפונקציה וההופכית שלה לא יתנו את פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה חד-חד-ערכית, קיים איבוד של מידע בזמן הפעלת הפונקציה, ולכן לא ניתן לשחזר את פעולתה.

שנית, הפונקציה שאותה מבקשים להפוך צריכה להיות על הטווח שלה. זאת כי אנחנו רוצים להגדיר את הפונקציה ההופכית על טווח זה, מה שמחייב אותנו להגדיר אותה עבור כל ערך בטווח. אם הפונקציה שלנו אינה על, הרי שקיים איבר בטווח שלא מתקבל על ידה, ואז שוב לא ניתן להגדיר את ההופכית על ערך זה מבלי להגיע למצב שבו הרכבת הפונקציות אינה פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה על, היא אינה מספקת מספיק מידע מלכתחילה כדי שניתן יהיה להגדיר לה הופכית על הטווח כולו. עם זאת, בעיה זו "חמורה פחות" מאשר מחסור בחד-חד-ערכיות, שכן תמיד ניתן לצמצם את תחום הגדרת ההופכית לקבוצת הערכים שמתקבלת על ידי הפונקציה (התמונה שלה) ובתחום זו הפונקציה הפיכה.

 

פונקציה לוגריתמית

 

לוגריתם (Logarithm) הוא פונקציה הפוכה לפונקציה המעריכית. הפונקציה מסומנת באותיות   log {\displaystyle \ \log } log. פעולה זו מוצאת את המעריך בהינתן בסיס ותוצאה, כלומר היא עונה על השאלה "באיזו חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?".

זוכרים את הדוגמא עם הקיפולי נייר, עכשיו נבצע אותה הפוך, את הדף המחולק ל-8 נפתח וקיבלנו שטח פנים הגדול פי 2, פתיחה נוספת תגדיל את שטח הפנים פי 4 משטח הפנים המקורי ופתיחה נוספת תהיה גדולה פי 8. הגרף למטה מציג את הגידול האקספוננציאלי בפונקציה הלוגריתמית וממחיש מדוע החוקרים בחרו דווקא בה לנתח את משבר הסאב-פריים בעזרת פונקציית צפיפות האנטרופיה.

 

log

 

כתבות מאותו תחום

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.

Back to top button
{ "symbols": [ { "title": "S&P 500", "proName": "OANDA:SPX500USD" }, { "title": "נאסדק 100", "proName": "OANDA:NAS100USD" }, { "title": "EUR/USD", "proName": "FX_IDC:EURUSD" }, { "title": "BTC/USD", "proName": "BITSTAMP:BTCUSD" }, { "title": "ETH/USD", "proName": "BITSTAMP:ETHUSD" } ], "colorTheme": "light", "isTransparent": false, "displayMode": "adaptive", "locale": "he_IL" }
Close
Close